## SVD 首先给出一些定义， - 正交矩阵 (orthogonal matrix) 满足： $O^{T} = O^{-1}$ - 正定矩阵：$\forall \vec{z} \neq \vec{0}, s.t. \vec{z}^{T}A\vec{z} > 0$ - 性质：$\det{A} > 0 $ eigenvalue > 0 - 半正定矩阵：$\det \geq 0$ - 共轭转置 (conjugate transpose) $M^{H}$ - 实数矩阵的共轭转置 = 转置 - 复数矩阵的共轭转置 = 转置 + 元素（复数）的共轭 - 酉矩阵 (unitary matrix) 特殊方阵满足 $UU^{H} = U^{H}U = I_{n}$ 设 $M \in \R^{m \times n}$ 的 SVD 为 $M = U \Sigma V^{H}$ 则： - $MM^{H} = U\Sigma V^{H}V\Sigma^{H} U^H = U (\Sigma \Sigma^{H}) U^{H}$ - $M^{H}M = V \Sigma U^{H}U\Sigma^{H} V^H = V(\Sigma^{H} \Sigma)V$ ## Triagulation ### Camera Projection Matrix 你的思考很敏锐！不过这里的 $ P $ **不是内参矩阵**，而是包含了相机内参和外参的 **“相机投影矩阵”**（Camera Projection Matrix）。我们来详细区分一下这几个概念，避免混淆~ #### **1. 内参矩阵 $ K $（Intrinsic Matrix）** 内参只和相机自身特性有关，描述相机如何将3D点（在相机坐标系下）投影到2D图像平面。它的形式是3×3矩阵： $$ K = \begin{bmatrix} f_x & s & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ - $ f_x, f_y $：x/y轴方向的焦距（像素单位）； - $ c_x, c_y $：图像主点（光轴与图像平面交点，通常是图像中心）； - $ s $：像素偏斜系数（通常为0，理想相机忽略）。 #### **2. 外参矩阵（Extrinsic Matrix）** 外参描述相机在 **世界坐标系** 中的姿态（位置和朝向），由旋转矩阵 $ R $（3×3）和平移向量 $ t $（3×1）组成，合并为3×4矩阵： $$ [R | t] $$ 作用：将世界坐标系下的3D点 $ X_{\text{world}} $ 转换到相机坐标系下的3D点 $ X_{\text{camera}} $： $$ X_{\text{camera}} = R X_{\text{world}} + t $$ #### **3. 相机投影矩阵 $ P $** 三角化中提到的 $ P $，是内参和外参的“组合”，即： $$ P = K [R | t] $$ 它直接实现“世界坐标系3D点 $ X $”到“图像2D点 $ x $”的投影： $$ x = P X $$ （这里 $ X $ 是世界坐标系下的齐次坐标 $ [X, Y, Z, 1]^T $，$ x $ 是图像齐次坐标 $ [u, v, 1]^T $）。 #### **举个例子帮助理解** 假设相机放在世界坐标系原点（外参 $ R=I, t=0 $），内参 $ K = \begin{bmatrix} f & 0 & c_x \\ 0 & f & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $，则相机矩阵 $ P = K [I | 0] = K $（此时 $ P $ 才等于内参矩阵）。但通常相机不在原点（比如双目相机的左右相机，外参不同），此时 $ P $ 必须包含外参 $ [R|t] $。 #### **总结** - 内参 $ K $：相机“自身参数”，与拍摄场景无关； - 外参 $ [R|t] $：相机“位置姿态”，与场景有关； - 相机矩阵 $ P $：$ K \times [R|t] $，直接完成3D→2D投影，是三角化中“已知”的输入（因为三角化需要知道两个相机的投影关系）。 ### Triagulation #### **一、齐次方程组 $ A X = 0 $ 有什么特殊之处？** 在三角化中，我们通过两个2D对应点得到了一个线性方程组： $$ A X = 0 $$ 其中 $ A $ 是一个矩阵（比如两个图像对应点会得到4×4的 $ A $），$ X $ 是待求的3D点齐次坐标（$ X = [X, Y, Z, 1]^T $，注意齐次坐标的最后一维是1，解出来后需要归一化）。 **为什么不能用普通方法（比如高斯消元）求解？** - **齐次方程组的“零解陷阱”**：如果直接解 $ A X = 0 $，$ X = [0, 0, 0, 0]^T $ 一定是解（零解），但这显然不是我们要的3D点（3D点的坐标不可能全是0）。我们需要的是 **非零解**。 - **噪声导致“无解”**：实际中，由于图像匹配有噪声，两条射线不会严格相交，所以 $ A X = 0 $ 其实 **没有精确解**（即不存在非零 $ X $ 让 $ A X $ 严格等于0）。我们需要找一个 $ X $，让 $ A X $ “尽可能接近0”（最小二乘意义下的最佳拟合）。 #### **二、核心目标：最小化 $ \| A X \|^2 $（让 $ A X $ 尽可能接近0）** 为了排除零解，我们给 $ X $ 加一个约束：$ \| X \|^2 = 1 $（即 $ X $ 是单位向量，因为齐次坐标可以缩放，解的方向比大小重要）。所以问题转化为： $$ \text{找 } X \text{ 使得 } \| A X \|^2 \text{ 最小，且 } \| X \|^2 = 1 $$ #### **三、SVD分解：解决这个问题的“万能工具”** 要理解如何求解，我们需要先认识 **奇异值分解（SVD）**。你可以把SVD想象成一种“矩阵的显微镜”：任何矩阵都能被分解成3个简单矩阵的乘积，从而看清它的“结构”。 ##### **1. SVD分解的定义** 对任意 $ m \times n $ 矩阵 $ A $，SVD分解为： $$ A = U \Sigma V^T $$ 其中： - $ U $：$ m \times m $ **正交矩阵**（列向量相互垂直，且都是单位向量，$ U^T U = I $）； - $ V $：$ n \times n $ **正交矩阵**（同上，$ V^T V = I $）； - $ \Sigma $：$ m \times n $ **对角矩阵**（只有对角线有非零值，其余全为0），对角线元素称为 **奇异值**，记为 $ \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq \sigma_k \geq 0 $（$ k = \min(m, n) $）。 ##### **2. 用“图像处理”比喻理解SVD** 假设 $ A $ 是一张彩色图像（矩阵）： - $ U $ 和 $ V^T $ 相当于“基向量”（比如图像的“特征方向”）； - $ \Sigma $ 中的奇异值 $ \sigma_i $ 相当于“权重”：奇异值越大，对应方向的“信息量”越多（比如图像的主要轮廓）；奇异值越小，信息量越少（比如噪声）。 ##### **3. SVD的关键性质（我们需要用到的）** - **正交矩阵不改变向量的模长**：对任意向量 $ x $，$ \| U x \| = \| x \| $，$ \| V x \| = \| x \| $（因为正交矩阵就像“旋转”或“镜像”，不拉伸向量）。 - $ A X = U \Sigma V^T X $：用SVD表示 $ A X $，后续会用这个展开式计算 $ \| A X \|^2 $。 #### **四、推导：为什么最小奇异值对应的右奇异向量是解？** 我们的目标是最小化 $ \| A X \|^2 $，且 $ \| X \| = 1 $。利用SVD分解 $ A = U \Sigma V^T $，代入得： $$ \| A X \|^2 = \| U \Sigma V^T X \|^2 $$ ##### **第一步：简化模长计算** 因为 $ U $ 是正交矩阵，根据性质，$ \| U \Sigma V^T X \| = \| \Sigma V^T X \| $，所以： $$ \| A X \|^2 = \| \Sigma V^T X \|^2 $$ ##### **第二步：设 $ Y = V^T X $，转换变量** 因为 $ V $ 是正交矩阵，$ X = V Y $（两边左乘 $ V $，$ V V^T X = V Y \Rightarrow X = V Y $）。又因为 $ \| X \| = 1 $，且 $ V $ 正交，所以 $ \| X \| = \| V Y \| = \| Y \| = 1 $（$ Y $ 也是单位向量）。 ##### **第三步：展开 $ \| \Sigma Y \|^2 $** $ \Sigma $ 是对角矩阵，假设 $ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \sigma_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \sigma_k \end{bmatrix} $（$ k = \min(m, n) $），$ Y = [y_1, y_2, \dots, y_n]^T $（单位向量）。则： $$ \Sigma Y = \begin{bmatrix} \sigma_1 y_1 \\ \sigma_2 y_2 \\ \vdots \\ \sigma_k y_k \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} $$ 所以 $ \| \Sigma Y \|^2 = (\sigma_1 y_1)^2 + (\sigma_2 y_2)^2 + \dots + (\sigma_k y_k)^2 $。 ##### **第四步：最小化 $ \| \Sigma Y \|^2 $** 我们要最小化上式，且 $ Y $ 是单位向量（$ y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2 = 1 $）。 因为奇异值 $ \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq \sigma_k \geq 0 $，所以： - 要让平方和最小，应该让 **大奇异值对应的 $ y_i $ 尽可能小，小奇异值对应的 $ y_i $ 尽可能大**。 最小的情况是：让 $ y_1 = y_2 = \dots = y_{k-1} = 0 $，$ y_k = 1 $（如果 $ n = k $），此时： $$ \| \Sigma Y \|^2 = \sigma_k^2 $$ （如果 $ n > k $，则后面的 $ y_{k+1}, \dots, y_n $ 可以取0，因为 $ \Sigma $ 对应位置是0，不影响结果）。 ##### **第五步：还原 $ X $** 因为 $ Y = [0, 0, \dots, 1]^T $（最后一个元素为1，其余为0），而 $ X = V Y $，所以 $ X $ 就是 $ V $ 的 **最后一列**（因为 $ V $ 的列向量是 $ V^T $ 的行向量，$ V Y $ 就是取 $ V $ 的第 $ k $ 列）。 而 $ V $ 的最后一列，恰好是 **最小奇异值 $ \sigma_k $ 对应的右奇异向量**（因为 $ V $ 的列向量称为“右奇异向量”，按奇异值从大到小排列）。 #### **五、结合三角化：具体例子** 在三角化中，我们有两个2D对应点 $ (x, x_0) $，每个点提供2个方程，所以 $ A $ 是4×4矩阵（$ m=4, n=4 $），$ X $ 是4维向量（$ [X, Y, Z, 1]^T $）。 - 对 $ A $ 做SVD分解：$ A = U \Sigma V^T $，奇异值 $ \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3 \geq \sigma_4 \geq 0 $； - 最小奇异值是 $ \sigma_4 $，对应的右奇异向量是 $ V $ 的第4列，即 $ X = V_{:,4} $（$ V $ 的第4列）； - 最后，将 $ X $ 归一化（因为是齐次坐标，除以最后一维），得到非齐次3D坐标 $ [X/Y_4, Y/Y_4, Z/Y_4]^T $（假设 $ X = [X, Y, Z, Y_4]^T $）。 #### **六、总结：为什么SVD能解决三角化的方程组？** 1. 三角化的核心是解 $ A X = 0 $，但噪声导致无精确解，需找“最佳拟合”； 2. “最佳拟合”即最小化 $ \| A X \|^2 $（$ X $ 为单位向量）； 3. SVD分解将 $ A $ 拆为 $ U \Sigma V^T $，通过变量替换发现最小化 $ \| A X \|^2 $ 等价于取最小奇异值对应的右奇异向量； 4. 这个向量就是3D点 $ X $ 的齐次坐标，归一化后得到最终结果。 **小测试：用一个简单例子验证** 假设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $（明显列向量线性相关，$ A X = 0 $ 有非零解）。 - SVD分解 $ A $：计算得 $ \sigma_1 = \sqrt{50} \approx 7.07 $，$ \sigma_2 = 0 $（最小奇异值为0）； - $ V $ 的第2列（对应 $ \sigma_2 $）是 $ [2, -1]^T $（单位化后）； - 验证：$ A X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $，确实满足 $ A X = 0 $！ 现在是不是清晰多了？SVD本质是通过分解矩阵，找到“最接近零解”的方向，而三角化正好需要这个方向作为3D点的坐标～ 你还有哪里觉得困惑吗？ 😊 Loading... ## SVD 首先给出一些定义， - 正交矩阵 (orthogonal matrix) 满足： $O^{T} = O^{-1}$ - 正定矩阵：$\forall \vec{z} \neq \vec{0}, s.t. \vec{z}^{T}A\vec{z} > 0$ - 性质：$\det{A} > 0 $ eigenvalue > 0 - 半正定矩阵：$\det \geq 0$ - 共轭转置 (conjugate transpose) $M^{H}$ - 实数矩阵的共轭转置 = 转置 - 复数矩阵的共轭转置 = 转置 + 元素（复数）的共轭 - 酉矩阵 (unitary matrix) 特殊方阵满足 $UU^{H} = U^{H}U = I_{n}$ 设 $M \in \R^{m \times n}$ 的 SVD 为 $M = U \Sigma V^{H}$ 则： - $MM^{H} = U\Sigma V^{H}V\Sigma^{H} U^H = U (\Sigma \Sigma^{H}) U^{H}$ - $M^{H}M = V \Sigma U^{H}U\Sigma^{H} V^H = V(\Sigma^{H} \Sigma)V$ ## Triagulation ### Camera Projection Matrix 你的思考很敏锐！不过这里的 $ P $ **不是内参矩阵**，而是包含了相机内参和外参的 **“相机投影矩阵”**（Camera Projection Matrix）。我们来详细区分一下这几个概念，避免混淆~ #### **1. 内参矩阵 $ K $（Intrinsic Matrix）** 内参只和相机自身特性有关，描述相机如何将3D点（在相机坐标系下）投影到2D图像平面。它的形式是3×3矩阵： $$ K = \begin{bmatrix} f_x & s & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ - $ f_x, f_y $：x/y轴方向的焦距（像素单位）； - $ c_x, c_y $：图像主点（光轴与图像平面交点，通常是图像中心）； - $ s $：像素偏斜系数（通常为0，理想相机忽略）。 #### **2. 外参矩阵（Extrinsic Matrix）** 外参描述相机在 **世界坐标系** 中的姿态（位置和朝向），由旋转矩阵 $ R $（3×3）和平移向量 $ t $（3×1）组成，合并为3×4矩阵： $$ [R | t] $$ 作用：将世界坐标系下的3D点 $ X_{\text{world}} $ 转换到相机坐标系下的3D点 $ X_{\text{camera}} $： $$ X_{\text{camera}} = R X_{\text{world}} + t $$ #### **3. 相机投影矩阵 $ P $** 三角化中提到的 $ P $，是内参和外参的“组合”，即： $$ P = K [R | t] $$ 它直接实现“世界坐标系3D点 $ X $”到“图像2D点 $ x $”的投影： $$ x = P X $$ （这里 $ X $ 是世界坐标系下的齐次坐标 $ [X, Y, Z, 1]^T $，$ x $ 是图像齐次坐标 $ [u, v, 1]^T $）。 #### **举个例子帮助理解** 假设相机放在世界坐标系原点（外参 $ R=I, t=0 $），内参 $ K = \begin{bmatrix} f & 0 & c_x \\ 0 & f & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $，则相机矩阵 $ P = K [I | 0] = K $（此时 $ P $ 才等于内参矩阵）。但通常相机不在原点（比如双目相机的左右相机，外参不同），此时 $ P $ 必须包含外参 $ [R|t] $。 #### **总结** - 内参 $ K $：相机“自身参数”，与拍摄场景无关； - 外参 $ [R|t] $：相机“位置姿态”，与场景有关； - 相机矩阵 $ P $：$ K \times [R|t] $，直接完成3D→2D投影，是三角化中“已知”的输入（因为三角化需要知道两个相机的投影关系）。 ### Triagulation #### **一、齐次方程组 $ A X = 0 $ 有什么特殊之处？** 在三角化中，我们通过两个2D对应点得到了一个线性方程组： $$ A X = 0 $$ 其中 $ A $ 是一个矩阵（比如两个图像对应点会得到4×4的 $ A $），$ X $ 是待求的3D点齐次坐标（$ X = [X, Y, Z, 1]^T $，注意齐次坐标的最后一维是1，解出来后需要归一化）。 **为什么不能用普通方法（比如高斯消元）求解？** - **齐次方程组的“零解陷阱”**：如果直接解 $ A X = 0 $，$ X = [0, 0, 0, 0]^T $ 一定是解（零解），但这显然不是我们要的3D点（3D点的坐标不可能全是0）。我们需要的是 **非零解**。 - **噪声导致“无解”**：实际中，由于图像匹配有噪声，两条射线不会严格相交，所以 $ A X = 0 $ 其实 **没有精确解**（即不存在非零 $ X $ 让 $ A X $ 严格等于0）。我们需要找一个 $ X $，让 $ A X $ “尽可能接近0”（最小二乘意义下的最佳拟合）。 #### **二、核心目标：最小化 $ \| A X \|^2 $（让 $ A X $ 尽可能接近0）** 为了排除零解，我们给 $ X $ 加一个约束：$ \| X \|^2 = 1 $（即 $ X $ 是单位向量，因为齐次坐标可以缩放，解的方向比大小重要）。所以问题转化为： $$ \text{找 } X \text{ 使得 } \| A X \|^2 \text{ 最小，且 } \| X \|^2 = 1 $$ #### **三、SVD分解：解决这个问题的“万能工具”** 要理解如何求解，我们需要先认识 **奇异值分解（SVD）**。你可以把SVD想象成一种“矩阵的显微镜”：任何矩阵都能被分解成3个简单矩阵的乘积，从而看清它的“结构”。 ##### **1. SVD分解的定义** 对任意 $ m \times n $ 矩阵 $ A $，SVD分解为： $$ A = U \Sigma V^T $$ 其中： - $ U $：$ m \times m $ **正交矩阵**（列向量相互垂直，且都是单位向量，$ U^T U = I $）； - $ V $：$ n \times n $ **正交矩阵**（同上，$ V^T V = I $）； - $ \Sigma $：$ m \times n $ **对角矩阵**（只有对角线有非零值，其余全为0），对角线元素称为 **奇异值**，记为 $ \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq \sigma_k \geq 0 $（$ k = \min(m, n) $）。 ##### **2. 用“图像处理”比喻理解SVD** 假设 $ A $ 是一张彩色图像（矩阵）： - $ U $ 和 $ V^T $ 相当于“基向量”（比如图像的“特征方向”）； - $ \Sigma $ 中的奇异值 $ \sigma_i $ 相当于“权重”：奇异值越大，对应方向的“信息量”越多（比如图像的主要轮廓）；奇异值越小，信息量越少（比如噪声）。 ##### **3. SVD的关键性质（我们需要用到的）** - **正交矩阵不改变向量的模长**：对任意向量 $ x $，$ \| U x \| = \| x \| $，$ \| V x \| = \| x \| $（因为正交矩阵就像“旋转”或“镜像”，不拉伸向量）。 - $ A X = U \Sigma V^T X $：用SVD表示 $ A X $，后续会用这个展开式计算 $ \| A X \|^2 $。 #### **四、推导：为什么最小奇异值对应的右奇异向量是解？** 我们的目标是最小化 $ \| A X \|^2 $，且 $ \| X \| = 1 $。利用SVD分解 $ A = U \Sigma V^T $，代入得： $$ \| A X \|^2 = \| U \Sigma V^T X \|^2 $$ ##### **第一步：简化模长计算** 因为 $ U $ 是正交矩阵，根据性质，$ \| U \Sigma V^T X \| = \| \Sigma V^T X \| $，所以： $$ \| A X \|^2 = \| \Sigma V^T X \|^2 $$ ##### **第二步：设 $ Y = V^T X $，转换变量** 因为 $ V $ 是正交矩阵，$ X = V Y $（两边左乘 $ V $，$ V V^T X = V Y \Rightarrow X = V Y $）。又因为 $ \| X \| = 1 $，且 $ V $ 正交，所以 $ \| X \| = \| V Y \| = \| Y \| = 1 $（$ Y $ 也是单位向量）。 ##### **第三步：展开 $ \| \Sigma Y \|^2 $** $ \Sigma $ 是对角矩阵，假设 $ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \sigma_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \sigma_k \end{bmatrix} $（$ k = \min(m, n) $），$ Y = [y_1, y_2, \dots, y_n]^T $（单位向量）。则： $$ \Sigma Y = \begin{bmatrix} \sigma_1 y_1 \\ \sigma_2 y_2 \\ \vdots \\ \sigma_k y_k \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} $$ 所以 $ \| \Sigma Y \|^2 = (\sigma_1 y_1)^2 + (\sigma_2 y_2)^2 + \dots + (\sigma_k y_k)^2 $。 ##### **第四步：最小化 $ \| \Sigma Y \|^2 $** 我们要最小化上式，且 $ Y $ 是单位向量（$ y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2 = 1 $）。 因为奇异值 $ \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq \sigma_k \geq 0 $，所以： - 要让平方和最小，应该让 **大奇异值对应的 $ y_i $ 尽可能小，小奇异值对应的 $ y_i $ 尽可能大**。 最小的情况是：让 $ y_1 = y_2 = \dots = y_{k-1} = 0 $，$ y_k = 1 $（如果 $ n = k $），此时： $$ \| \Sigma Y \|^2 = \sigma_k^2 $$ （如果 $ n > k $，则后面的 $ y_{k+1}, \dots, y_n $ 可以取0，因为 $ \Sigma $ 对应位置是0，不影响结果）。 ##### **第五步：还原 $ X $** 因为 $ Y = [0, 0, \dots, 1]^T $（最后一个元素为1，其余为0），而 $ X = V Y $，所以 $ X $ 就是 $ V $ 的 **最后一列**（因为 $ V $ 的列向量是 $ V^T $ 的行向量，$ V Y $ 就是取 $ V $ 的第 $ k $ 列）。 而 $ V $ 的最后一列，恰好是 **最小奇异值 $ \sigma_k $ 对应的右奇异向量**（因为 $ V $ 的列向量称为“右奇异向量”，按奇异值从大到小排列）。 #### **五、结合三角化：具体例子** 在三角化中，我们有两个2D对应点 $ (x, x_0) $，每个点提供2个方程，所以 $ A $ 是4×4矩阵（$ m=4, n=4 $），$ X $ 是4维向量（$ [X, Y, Z, 1]^T $）。 - 对 $ A $ 做SVD分解：$ A = U \Sigma V^T $，奇异值 $ \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3 \geq \sigma_4 \geq 0 $； - 最小奇异值是 $ \sigma_4 $，对应的右奇异向量是 $ V $ 的第4列，即 $ X = V_{:,4} $（$ V $ 的第4列）； - 最后，将 $ X $ 归一化（因为是齐次坐标，除以最后一维），得到非齐次3D坐标 $ [X/Y_4, Y/Y_4, Z/Y_4]^T $（假设 $ X = [X, Y, Z, Y_4]^T $）。 #### **六、总结：为什么SVD能解决三角化的方程组？** 1. 三角化的核心是解 $ A X = 0 $，但噪声导致无精确解，需找“最佳拟合”； 2. “最佳拟合”即最小化 $ \| A X \|^2 $（$ X $ 为单位向量）； 3. SVD分解将 $ A $ 拆为 $ U \Sigma V^T $，通过变量替换发现最小化 $ \| A X \|^2 $ 等价于取最小奇异值对应的右奇异向量； 4. 这个向量就是3D点 $ X $ 的齐次坐标，归一化后得到最终结果。 **小测试：用一个简单例子验证** 假设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $（明显列向量线性相关，$ A X = 0 $ 有非零解）。 - SVD分解 $ A $：计算得 $ \sigma_1 = \sqrt{50} \approx 7.07 $，$ \sigma_2 = 0 $（最小奇异值为0）； - $ V $ 的第2列（对应 $ \sigma_2 $）是 $ [2, -1]^T $（单位化后）； - 验证：$ A X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $，确实满足 $ A X = 0 $！ 现在是不是清晰多了？SVD本质是通过分解矩阵，找到“最接近零解”的方向，而三角化正好需要这个方向作为3D点的坐标～ 你还有哪里觉得困惑吗？ 😊 最后修改：2025 年 06 月 20 日 © 允许规范转载 打赏 赞赏作者 支付宝微信 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏
