因为每次做异或的题都感觉不好下手, 然而异或是一种性质非常多的奇妙运算.所以写一篇总结

异或和数据结构

口胡一下子,可以套线性基,01trie

异或的性质

异或可以看做是一种不进位的加法,或者模 $2$ 意义下的加法。有这样一些性质(统一用$\oplus$符号表示异或运算)

归零律

$$ a \oplus a = 0 $$

恒等律

$$ a \oplus 0 = a $$

交换律

$$ a \oplus b = b \oplus a $$

重要推论: 当 $a \oplus b = c$ 时, $a \oplus c = b$ , $b \oplus c = a$ 同样成立

自反性

$$ a \oplus b \oplus a = b $$

前缀异或

其实我也不知道这个叫前缀异或还是异或差分,反正讲的应该是一个东西.

基本上就是记一个 $sum$ 数组,其 $sum_1 = a_1$, $sum_i = sum_{i-1} \oplus a_i$

那么这个玩意儿有什么用呢

$$ a_i \oplus a_{i+1} \oplus a_j = sum_j \oplus sum_{i -1} $$

好了没了