Link中文题面链接Sol先来考虑一个简单版本的问题：我们只有一个北国银行。答案是：$$ \sum\limits_{(x,fa)\in E} w \cdot min(size_{x},S - size_{x}) $$证明：不妨设树根为$1$。在上面的表达式中，$size_{x}$ 表示的是在 $x$ 子树中居民的数量，$S$表示树中居民的总数量。考虑如何计算所有居民接收到一枚钟离盾的总时间：对于每一条边，它的贡献为 $w$ $*$ 通过这条边的居民的数量的总和，即对于每一条边 $(x, fa, w)$，我们有两种选择：一是选择子树内的所有居民通过该边（此时北国银行在子树外），故此部分贡献为 $w \cdot size_{x}$；二是选择 $x$ 的子树外的所有点上的居民通过该边进入 $x$ 的子树领取钟离盾（此时北国银行在子树内）。两种方式取 $min$ 即可。考虑最终北国银行放置的位置，会有一条没有居民过的边。那么可以枚举该边并将此边断开，使原树分成两个树，再通过上面的方法对两棵树的答案独立计算。时间复杂度为 $O(n^2)$。定义 $in_v$ 为 DFS 时进入$v$ 点的时间戳，$out_v$ 为 DFS 时离开 $v$ 点的时间戳。假设只放置一个北国银行，我们就应该找到对于所有边 $e(v, to, w)$ ：$\sum\limits_{e\in E} w \cdot min(size_{to}, S - size_{to})$ 的总和。考虑 $size_{to}$ 和 $S - size_{to}$ 什么时候会算到贡献里：$w \cdot min(size_{to}, S - size_{to})$ 为 $w \cdot size_{to}$ 当且仅当 $size_{to} \leq \frac{S}{2}$， 为 $w \cdot (S - size_{to})$ 当且仅当 $size_{to} > \frac{S}{2}$。回到 $O(n^2)$ 的解法。我们在 DFS 时在树中移去边 $(v, to, w)$ 。现在有两棵子树，大小分别为：$X = size_{to}, Y = size_{1} - size_{to}$。 考虑分别在 $X, Y$ 两棵树上解决问题。第一部分先计算 $to$ 子树中的点的答案： $w \cdot min(size_{to}, X - size_{to})$ 的值的和。我们可以计算出 $w \cdot size_{to} (\forall size_{to} \leq \frac{X}{2}) + w \cdot X (\forall size_{to} > \frac{X}{2}) - w \cdot size_{to} (\forall size_{to} > \frac{X}{2})$。剩余的部分就是要求出区间 $[l,r]$ 内所有数字 $\leq K$ 的和。可以把区间 $[in_{to}, out_{to}]$ 内的点的 $w$ 和 $w \cdot size_{to}$ 丢进两个树状数组，分别统计两类的答案即可。$to$ 的子树以外的部分做法也很类似。注意要将这些操作在区间 $[1, in_{to} - 1]$ 和 $[out_{to} + 1, n]$ 和子树 $Y$ 上完成。除了从根节点开始的链到 $v$ （ 包括 $to$ 的子树中的节点）。在这条链上 $size_u$ 单调递减，所以用双指针并且记录前缀和。可以减去我们要为 $\leq \frac{Y}{2}$ 计算的部分。同样对 $size_{1} - size_{u}$ 做这样的步骤。最后加上我们需要的 $> \frac{Y}{2}$ 的部分，这部分在这条链上递增。时间复杂度和空间复杂度均为 $O(n \log n)$ 。Code#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int SIZE = 5e4 + 5, SIZE_N = 2.5e5 + 5; const LL inf = 9e18; int n, rt, num, tim, tot; int head[SIZE], a[SIZE], dep[SIZE], f[SIZE][18], dfn[SIZE], id[SIZE], lg[SIZE], fx[SIZE], s[SIZE], b[SIZE]; LL S, siz[SIZE], y[SIZE], z[SIZE], ans[SIZE], c[SIZE], C[SIZE]; struct node { int to, v, nxt; } edge[SIZE << 1]; struct ask { int l, r, d; LL k, s; inline bool operator< (const ask &a) const { return k < a.k; } } q[SIZE * 3]; void addEdge(int u, int v, int d) { edge[++ num] = (node) {v, d, head[u]}, head[u] = num; } namespace GTR { const int bufl = 1 << 15; char buf[bufl], *s = buf, *t = buf; inline int fetch() { if (s == t) { t = (s = buf) + fread(buf, 1, bufl, stdin); if (s == t) return EOF; } return *s++; } inline int read() { int a = 0, b = 1, c = fetch(); while (c < 48 || c > 57) b ^= c == '-', c = fetch(); while (c >= 48 && c <= 57) a = (a << 1) + (a << 3) + c - 48, c = fetch(); return b ? a : -a; } } using GTR::read; namespace fenwick { #define lowbit(x) (x & (-x)) void modify(LL *bit, int pos, LL val) { for ( ; pos <= n; pos += lowbit(pos)) bit[pos] += val; } LL query(LL *bit, int pos) { LL ans = 0; for ( ; pos; pos -= lowbit(pos)) ans += bit[pos]; return ans; } LL query(LL *bit, int l, int r) { return l > r ? 0ll : query(bit, r) - query(bit, l - 1); } } ; void dfs(int u, int fa) { siz[u] = a[u], s[u] = 1, dfn[u] = ++ tim; for (int i = head[u], v; i; i = edge[i].nxt) { v = edge[i].to; if (v == fa) continue; dep[v] = dep[u] + 1, f[v][0] = u, b[v] = edge[i].v; for (int j = 1; j < 18; ++ j) f[v][j] = f[f[v][j - 1]][j - 1]; dfs(v, u); siz[u] += siz[v], s[u] += s[v]; } } void dfs1(int u, int fa) { for (int i = head[u], v; i; i = edge[i].nxt) { v = edge[i].to; if (v == fa) continue; y[v] = y[u] + b[v], z[v] = z[u] + 1ll * b[v] * siz[v]; dfs1(v, u); id[v] = ++ tot; q[tot] = (ask) {dfn[v] + 1, dfn[v] + s[v] - 1, tot, siz[v], 0ll}; q[++ tot] = (ask) {1, dfn[v] - 1, tot, S - siz[v], 0ll}; q[++ tot] = (ask) {dfn[v] + s[v], n, tot, S - siz[v], 0ll}; int x = v; LL t = (S - siz[v]) >> 1; for (int j = lg[dep[v] - 1]; ~j; -- j) { if (f[x][j] && siz[f[x][j]] <= t) x = f[x][j]; } ans[v] = (z[f[x][0]] << 1) - z[u] - y[f[x][0]] * (S - siz[v]); x = v; t = ((S - siz[v]) >> 1) + siz[v]; for (int j = lg[dep[v] - 1]; ~j; -- j) { if (f[x][j] && siz[f[x][j]] <= t) x = f[x][j]; } int fa = f[x][0]; ans[v] += (z[u] - y[u] * siz[v]) - ((z[fa] - y[fa] * siz[v]) << 1) + y[fa] * (S - siz[v]); } } int main() { int ti = read(); while (ti --) { n = read(), rt = (n + 1) >> 1, S = num = tim = tot = 0, dep[rt] = 1; for (int i = 1; i <= n; ++ i) { a[i] = read(), fx[i] = i, S += a[i]; head[i] = b[i] = y[i] = z[i] = c[i] = C[i] = 0; } for (int i = 2, u, v, d; i <= n; ++ i) { u = read(), v = read(), d = read(); addEdge(u, v, d), addEdge(v, u, d); lg[i] = lg[i >> 1] + 1; } dfs(rt, 0), dfs1(rt, 0); std::sort(q + 1, q + tot + 1); std::sort(fx + 1, fx + n + 1, [] (int a, int b) { return siz[a] < siz[b]; }); int t = 1; for (int i = 1; i <= tot; ++ i) { while (t <= n && siz[fx[t]] <= (q[i].k >> 1)) { fenwick::modify(c, dfn[fx[t]], 1ll * b[fx[t]] * siz[fx[t]]); ++ t; } q[i].s = fenwick::query(c, q[i].l, q[i].r); } t = n; for (int i = 1; i <= n; ++ i) c[i] = 0; for (int i = tot; i; -- i) { while (t && siz[fx[t]] > (q[i].k >> 1)) { fenwick::modify(c, dfn[fx[t]], 1ll * b[fx[t]] * siz[fx[t]]); fenwick::modify(C, dfn[fx[t]], 1ll * b[fx[t]]); -- t; } q[i].s += fenwick::query(C, q[i].l, q[i].r) * q[i].k - fenwick::query(c, q[i].l, q[i].r); } std::sort(q + 1, q + tot + 1, [] (ask a, ask b) { return a.d < b.d; }); LL res = inf; for (int i = 1; i <= n; ++ i) { ans[i] += q[id[i]].s + q[id[i] + 1].s + q[id[i] + 2].s; if (i != rt && ans[i] < res) res = ans[i]; } printf("%lld\n", res); for (int i = 1; i <= n; ++ i) for (int j = 0; 1 << j < dep[i]; ++ j) f[i][j] = 0; } return 0; }