Tony102's Blog - 微积分
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基本微积分定理
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date: 2021-09-17T16:37:00+08:00
description: 积分中值定理定义如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么在开区间 $(a,b)$ 内总有一点 $c$ 满足：$$ f(c) = \frac{1}{b-a} \int^{b}_{a} f(d) \mathrm{d} x $$理解感性理解...比如微分中值定理的可以简单理解为：你在一段路上驾驶，一下子时速 $60$ ，一下子时速 $120$ ，那么一定有一个平均时速可以求出。同理可以用来理解一段位移（毕竟积分是可以是有向面积），那么一下子正位移，一下子负位移，想象有两个四两拨千斤的马老师在拉扯，那么一定有一个点可以把整段位移平均划分成相等的两部分。定积分和不定积分其实是一样的，只是一个有积分上下限，另一个无限积出的来的结果会是一个代数表达式。但是知道积分可加可减、常数可提，所以求出来的不定积分，可以用来算定积分。感觉不定积分要比定积分性质更强。但是有的情况下想求出无限积分应该是一件非常难的事情吧。微积分第一基本定理推导假如我们要求：$$ \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t $$我们用一个函数 $F(x)$ 来表示：$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 。即：固定积分下限，把自变量 $x$ 当做一个积分上限。对 $F(x)$ 求导：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t$发现没有可用的求导公式？那就只有定义是可以用了：$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} $$数形结合，知道 $F$ 就是两个有向面积中间的公共部分所有：$$ F(x+h) - F(x) = \int_{a}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t - \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t $$因为积分可加可减，常数可提在积分符号外，所以：$\int_{a}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t + \int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t$所以相减抵消了一项之后，现在只剩下了 $\int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t$注意到：$h \to 0$ 的条件，这时候横坐标 $\to 0$ ，那么这个面积底非常小，几乎可以认为是一条直线，所以：$$ \int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t \approx hf(t) $$带回原式得到：$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x) $$可以发现 $F'(x) = f(x)$这就是微积分第一基本定理的推导。总结定义微积分第一基本定理：如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，定义 $F$ 为：$$ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t, x \in [a,b] $$则 $F$ 在开区间 $(a,b)$ 上是连续可导函数，并且 $F'(x) = f(x)$反导数的引入假如 $a \neq A$，不妨设 $A > a$，并且有：$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t, G(x) = \int_{A}^{x} f(t) \mathrm{d} t$那么很明显，$\Delta = F(x) - G(x) = C$假如 $f(t) = t^{2}$ ，我们要求 $F$，也就是说我们要找到一个函数使它的导数为 $t^2$。这样的函数有很多，$\frac{x^3}{3}, \frac{x^3}{3} - 2 \pi$可以注意到给出的第二个例子中 $-2 \pi $ 这一常数项导数为 $0$，这样的常数无论它的大小正负求导以后都会变成 $0$，而重要的只有前面 $\frac{x^3}{3}$ 这一项。所以我们可以写出（令 $a=0$）：$$ F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d}t = \frac{x^3}{3} + C $$微积分第二基本定理我觉得直接丢定义就可以了定义微积分第二基本定理：如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，$F$ 是 $f$ 的任意一个关于 $x$ 的反导数，那么有：$$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x= F(b) - F(a) $$可以简单写成：$$ F(x) |^{b}_{a} $$