3D Vision: Conics and Dual Conics

tony102

2024 年 09 月 16 日

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1831字数

总结

## What is Conics

- Curve, described by second-degree equation in a plane

- In Euclidean geo: hyperbola/ellipse/parabola (双曲线/椭圆/抛物线)
- 这三种都是锥体（Conic）的不同方式的截面

他们的表示：

- 在非齐次坐标中（Inhomogeneous coordinates):  $$
  ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f =0
  $$
  
  $$
- 齐次坐标中：$x \rightarrow \frac{x_1}{x_3}$, $y \rightarrow \frac{x_2}{x_3}$

或者在线性代数中：

$$
\mathbf{x}^{T} C \mathbf{x} = 0
$$

其中 $C$ 是对称矩阵，由下式给出：

$$
\begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} & \frac{d}{2} \\ \frac{b}{2} & c & \frac{e}{2} \\ \frac{d}{2} & \frac{e}{2} & f \end{bmatrix}
$$

这是一个齐次的表达形式。并且注意到，给$C$乘上任何一个标量都无所谓，因为他们内积仍然为 $0$

从上面的表达中我们可以看出，一个锥体有 $5$ 个自由度：$\{a:b:c:d:e:f\}$ （这里有六个变量，但实际上你少一个，相当于留了一个缩放的比例尺而已。椭球形状已经固定）

在不在一个锥体上，很简单：

$$
\mathbf{x=(x_i^2, x_i y_i,y_i^2,x_i, y_i, 1) \mathbf{c}}=0
$$

其中 $\mathbf{c} = (a,b,c,d,e,f)$

### Tangent Lines to conics

切线 $\mathbf{I}$ 切 $\mathbf{C}$ 在点 $\mathbf{x}$ 处可以直接被写为：$\mathbf{I} = \mathbf{C}\mathbf{x}$

Proof: $\mathbf{I}^T\mathbf{x} = \mathbf{x}^T\mathbf{Cx} =0$ ，即如果 $\mathbf{I}$ 与 $\mathbf{C}$ 有一个交点，就说明与 $\mathbf{C}$ 相切。

## Dual Conics

上面的定义更准确的说法都可以说是用一个点定义了一个锥体，称为 **point conics**

如果要定义一个 Dual Conics，那么可以用一个 $\mathbf{C}^{*} \in \mathbb{R}^{3\times 3}$

其切线 $\mathbf{I} = \mathbf{I}^{T}\mathbf{C}^{*}\mathbf{I} = 0$

对于一个 **non-singular**的对称矩阵 $\mathbf{C}^{*} = \mathbf{C}^{-1}$

Dual Conics 也被称为 **conic envelopes**

![image-20240916010813514.png](https://s1.locimg.com/2024/09/16/183a606cdf2ff.png)

## Degenerate Conics

退化锥线

假如切线与锥体在另一点 $y$ 相交了，那么：$\mathbf{y^T Cy}= 0$ 和 $\mathbf{x^T C x} = 0$ 同时成立

那么：$(\mathbf{x} + a\mathbf{y})^TC(\mathbf{x}+a\mathbf{y})= 0$

![1726420481527.png](https://s1.locimg.com/2024/09/16/5732ad00dfac2.png)

所以如果 $\mathbf{C}$ 不是满秩的，那么这个锥体就是 Degenerate

因此，Degenerate Conic 的 Rank=2，因为由两条直线组成或者一条重复的直线组成（rank=1)

最后修改：2024 年 09 月 16 日

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3D Vision: Conics and Dual Conics

tony102 • 2024 年 09 月 16 日

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