Miscellaneous Math for CG 为计算机图形学准备的数学

博主： tony102
发布时间：2024 年 04 月 18 日
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分类：总结

## Vector

### Cross Product

叉积，简单回顾一下

$$
||\vec{a} \times \vec{b}|| = ||a||||b|| \sin \phi
$$

而 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向可以用右手系来判断。

在笛卡尔坐标系中，其结果可以用：

$$
\vec{a} \times \vec{b} = (y_az_b - z_ay_b, z_ax_b - x_az_b, x_ay_b - y_ax_b)
$$

### Orthonormal Bases

#### Constructing a Basis from a Single Vector

利用单个向量构造正交基

首先取该向量的方向向量：

$$
\vec{w} = \frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}
$$

之后选取任意一个与 $\vec{w}$ 不共线的向量 $\vec{t}$，利用叉积来构造与 $\vec{w}$ 正交的单位向量

$$
\vec{u} = \frac{\vec{t} \times \vec{w}}{||\vec{t} \times \vec{w}||}
$$

#### Constructing a Basis from a Single Vector

将 $\vec{u}$ 构造中的 $\vec{t}$ 替换成第二个向量 $\vec{b}$ 即可。

## Curves and Surfaces

### 2D Implicit Curves

一种常见的描述二维曲线的方法是隐等式（*Implicit Equation*）。二维曲线的一般形式是：

$$
f(x,y) = 0
$$

其中， 点 $(x,y)$ 是 $f(x,y)=0$ 的根，表示该点在曲线上。反之则不在。例如，一个圆可以表示为 $f(x,y) = (x-x_c)^2 + (y - y_c)^2 -r^2$ 。因为在曲线上的点并非显式地表达出来，而是要解这个等式，所以成为 Implicit Equation。

此外，我们还可以用向量来压缩我们的表达式。如果我们有 $\vec{c} = (x_c, y_c)$ 和 $\vec{p} = (x,y)$，那么以 $(x_c, y_c)$ 为圆心 $r$ 为半径的原则可以用这些满足以下条件的**位置向量**来表示：

$$
(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) - r^2 = 0
$$

由点积的性质可知，该式也等价于：

$$
\vert \vert \vec{p} - \vec{c} || -r^2 = 0
$$

### 2D Gradient

这一节我们讨论2D梯度

假如我们认为 $f(x,y)$ 是一块高地且高度$=f(x,y)$，那么梯度向量指向的是最大向上斜率的方向。梯度向量 $\nabla f(x,y)$ 由下式给出：

$$
\nabla f(x,y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})
$$

在一个在隐曲线 $f(x,y) = 0$ 上的点测量的梯度向量是与 tangent vector 在该点垂直的一个向量。这个垂直的向量通常称为 normal vector （法向量）。因为梯度向量指向的是最大向上斜率的方向，这说明了梯度向量指向了 $f(x,y) > 0$ 的区域。

### 3D Implicit Surfaces

类似于 2D 的情形，我们可以简单给出 3D Implicit Equation 来描述一个 3D 平面

$$
f(x,y,z) = 0
$$

同理，可以用向量来表示。有  $\vec{p} =(x,y,z)$ ，上式可以重写为：

$$
f(\vec{p}) = 0
$$

### Surface Normal to an Implicit Surface

Surface Normal，即法线。其目的是为了减小计算量，是一个垂直于平面的向量。

任意一个在平面上的点都有可能有不同的法向量。类似地，梯度为2D隐曲线指出了一条法线，在点 $\vec{p}$ 处的3D平面发现由隐函数的梯度给出：

$$
\vec{n} = \nabla f(\vec{p}) = (\frac{\partial f(\vec{p}}{\partial x}, \frac{\partial f(\vec{p})}{\partial y}, \frac{\partial f(\vec{p})}{\partial z})
$$

### Implicit Planes

上面提到了法线。我们是否可以用法线来定义一个平面？

假如我们有一个无限平面，穿过点 $\vec{a}$，且在该点有法线 $\vec{n}$。则该平面的 Implicit Equation 可以表达为：

$$
(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0
$$

其中 $\vec{p}$ 是一个任意的在平面上的点。这个等式实际上是在描述：一个从 $\vec{a}$ 到 $\vec{p}$ 的向量是垂直于平面法线 $n$ 的。如果 $\vec{p}$ 不在该平面内，则该等式不成立。

有时候我们需要找到一个包含点 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的平面。该平面的法线可以用该平面内的任意两个向量的叉积给出：

$$
\vec{n} = (\vec{b} - \vec{a})\times (\vec{c} - \vec{a})
$$

利用上式，可以重写本节的第一个式子：

$$
(\vec{p} - \vec{a}) \cdot ((\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})) = 0
$$

该式可以这么理解：由 $\vec{p} - \vec{a}$ , $\vec{b} - \vec{a}$ 和 $\vec{c} - \vec{a}$ 定义的平行管的体积为 $0$，即他们是共面的。

一个 Full-Brown 的笛卡尔表示由行列式给出：

$$
\begin{Vmatrix} x - x_a & y - y_a & z - z_a \\ x_b - x_a & y_b - y_a & z_b - z_a \\ x_c-x_a & y_c - y_a & z_c-z_a\end{Vmatrix} = 0
$$

本质上，上两式是等价的。且两者都容易用来进行编程。

#### 3D Quadric Surfaces

类似于二次多项式可以用来定义2D中的二次曲线，由 $x,y,z$ 组成的二次多项式可以用来在 3D 中定义二次平面。例如，一个球可以表示成：

$$
f(\vec{p}) = (\vec{p} - \vec{c})^2 - r^2= 0
$$

一个在固定在轴上的椭球可以如下表示：

$$
f(\vec{p}) = \frac{(x-x_c)^2}{a^2} + \frac{(y-y_c)^2}{b^2} + \frac{(z-z_c)^2}{c^2} - 1 = 0
$$

#### 3D Curves from Implicit Surfaces

根据3D Implicit Surface 的启发，3D implicit curve 是否可以用 $f(\vec{p}) = 0$ 来描述呢？答案是可以的。但是所有这些曲线都只是退化曲面 (Degenerate Surface)，在实践中很少有用。Degenerate Surface 就是会在一条线或者一个点上坍缩的一个平面。其实由定义可以联想到这一性质。

一条 3D 曲线可以由两个 Implicit equations 的节点同时构造出来：

$$
f(\vec{p}) = 0, g(\vec{p}) = 0
$$

例如，一条 3D Curves 可以由它截的两个平面来表示。

一种更简便的方法是用参数式来表示。

### 2D Parametric Curves

一个用参数来描述的曲线，使用单参数来控制的。这个参数可以被视为一种在曲线上连续的*索引*。这样的曲线可以由这种形式来表示：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g(t) \\ h(t) \end{bmatrix}
$$

该式中，$(x,y)$ 是在曲线上的一个点。$t$ 是一个影响这条曲线的一个参数。对于一个给定的 $t$，一些点是由函数 $g$ 和 $h$ 来决定的。对于连续的 $g$ 和 $h$，$t$ 的微小变化就会体现在 $x,y$ 的微笑变化中。所以，当 $t$ 连续的变化的时候，$(x,y)$ 也连续的被勾勒出来。

这是一种很好的特性，因为我们可以用参数 $t$ 来显式地构造在曲线上的点。

通常，我们可以用向量的形式来写一个参数式的曲线：

$$
\vec{p} = f(t)
$$

其中，$f$ 是一个 vector-valued 的函数， $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$。

#### 2D Parameter Lines

一条经过 $\vec{p_0} =(x_0, y_0)$ 和 $\vec{p_1} = (x_1, y_1)$ 的点可以写做：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 + t(x_1-x_0) \\ y_0 + t(y_1-y_0)\end{bmatrix}
$$

上式中， $x, y$ 给出的形式非常类似，我们可以用一个更简单的向量形式来表达。对于 $\vec{p} = (x,y)$:

$$
\vec{p}(t) = \vec{p_0} + t(\vec{p_1 - \vec{p_0}})
$$

另外一种只用一个点 $\vec{o}$ 和一个向量 $\vec{d}$ 的表达方式是：

$$
\vec{p}(t) = \vec{o} + t(\vec{d})
$$

当向量 $\vec{d}$ 的模长为单位长度时，这条线被称作 *arc-length parameterized* （弧长参数化）的。这指出，参数 $t$ 就是这条线上长度的。任何参数式的曲线都可以被弧长参数化。弧长参数化式显然是一种非常方便的形式。

#### 2D Parametric Curves

圆心在 $(x_c, y_c)$ 半径为 $r$ 的圆有参数式：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_c+r\cos \phi \\ y_c + r \sin \phi \end{bmatrix}
$$

为了保证参数 $\phi$ 是一个独特的参数，对于每一个在曲线上的点，我们可以限制其定义域 $\phi \in [0,2\pi)$ 或者 $\phi \in (-\pi, \pi]$。

一个轴在坐标轴上的椭圆可以用不同的尺寸的 $x,y$ 来构造参数等式来表达：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_c+a \cos \phi \\ y_c + b\sin\phi \end{bmatrix}
$$

### 3D Parametric Curves

类似于 2D 的情况，3D Parametric Curves 可以表示为：

$$
x = f(t), y = g(t), z=h(t)
$$

例如，一个围着 $z$ 轴的螺旋状曲线可以写作：

$$
x = \cos t, y = \sin t, z = t
$$

同理，如果我们要控制曲线的起点和终点，函数 $f,g,h$ 定义在 $D \subset \mathbb{R}$ 。其向量形式可以写作：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \vec{p(t)}
$$

#### 3D Parametric Lines

不多细说，跟 2D 情况类似。

### 3D Parametric Surfaces

参数化方法可以用来定义 3D 空间中的平面，类似于我们如何定义曲线。在 3D 中平面的形式是：

$$
x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v)
$$

或者，向量形式是：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \vec{p}(u,v)
$$

例如，一个在地球上的点可以用经度和纬度来描述。如果我们定义地球的原点就是地心的话，设 $r$ 是地球的半径，一个在原点球的坐标系就可以用来帮助我们表示 Parametric equations:

$$
x = r \cos \phi \sin \theta, y = r \sin \phi \sin \theta, z = r\cos \theta
$$

我们也可以写成向量形式，但是这并不为这样特定的参数形式具备可行性。

我们想要对于一组给定的 $(x,y,z)$ 寻找一对 $(\theta, \phi)$。如果我们假设 $\phi \in (-\pi, \pi]$，这可以很轻松的用 $\arctan2$ 函数([atan2函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/Atan2))来实现：

$$
\theta = \arccos(z / \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}), \phi = \arctan2(y,x)
$$

结合 Implicit surfaces，函数 $f$ 的微分给出了该平面的法向量，同时 $\vec{p}$ 的微分也告诉了我们该平面的几何信息。

考虑函数 $\vec{q}(t) = \vec{p}(t,v_0)$。这个函数定义了一个 Parametric curve ，通过变化 $u$ 在保持$v = v_0$ 不变的时候。这条曲线被称为在平面中的 Isoparametric curve (等参数曲线)。$\vec{q}$ 的微分给出了一个与曲线相切的向量。并且由于这条曲线在平面内，$\vec{q'}$  也在平面内。因为这是通过变化 $\vec{p}$ 中的参数来得到的，所以 $\vec{q'}$ 是 $\vec{p}$ 关于 $u$ 的偏微分，我们记作 $\vec{p_u}$。类似的说法展示了偏微分 $\vec{p_u}$ 给出了等参数曲线的切线，对于常数 $u$。这也是平面的第二个相切向量。

由上，$\vec{p}$ 的微分给出了平面上任意一点的两个相切向量。平面的法线可以通过这些向量的叉积得到：因为他们二者都与平面相切，他们的叉积则与他们正交。这样就是平面的法线。右手系给出了一种方法哪一个是前面，或者说是外面，对于某一个平面。我们将用向量方便地表示：

$$
\vec{n} = \vec{p_u} \times \vec{p_v}
$$

该法向量指向平面外方向。

### Summary for Curves and Surfaces

2D 中的 Implicit curves 和 3D 中的 Implicit surfaces 用一个 scalar-valued （一个标量来衡量）的二元或者三元函数来表示：$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 或者 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ，并且包含所有满足函数值为 $0$ 的点：

$$
S = \{ \vec{p} | f(\vec{p}) = 0 \}
$$

2D 或者 3D 中的参数化曲线使用 vector-valued （一个矢量来衡量）的单变量函数来衡量：$\vec{p}: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ 或者 $\vec{p}: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ ，并且曲线扫过所有地方随着 $t$ 在整个 $D$ 上变化：

$$
S = \{ \vec{p}(t) | t \in D \}
$$

3D 中的参数化平面也是用 vector-valued 的二元函数来表示的：$\vec{p}: D \subset \mathbb{R^2} \to \mathbb{R^3}$，该平面包括所有点 $(u,v)$ 在定义域内：

$$
S = \{\vec{p}(t)| (u,v) \in D \}
$$

对于 Implicit curves 和 Implicit surfaces，法向量由 $f$ 的微分给出（即梯度）。相切向量（对于一条曲线）或者一组相切向量（对于一个平面）可以用法线的微分来构造一组基底。

对于参数化曲线和平面，$\vec{p}$ 的微分给出了相切向量（对于一条曲线）或者一组相切向量（对于一个平面），并且法向量可以通过构造一组基底从任何切线中得出。

最后修改：2024 年 04 月 26 日

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tony102 • 2024 年 04 月 18 日

## Vector

### Cross Product

叉积，简单回顾一下

$$
||\vec{a} \times \vec{b}|| = ||a||||b|| \sin \phi
$$

而 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向可以用右手系来判断。

在笛卡尔坐标系中，其结果可以用：

$$
\vec{a} \times \vec{b} = (y_az_b - z_ay_b, z_ax_b - x_az_b, x_ay_b - y_ax_b)
$$

### Orthonormal Bases

#### Constructing a Basis from a Single Vector

利用单个向量构造正交基

首先取该向量的方向向量：

$$
\vec{w} = \frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}
$$

之后选取任意一个与 $\vec{w}$ 不共线的向量 $\vec{t}$，利用叉积来构造与 $\vec{w}$ 正交的单位向量

$$
\vec{u} = \frac{\vec{t} \times \vec{w}}{||\vec{t} \times \vec{w}||}
$$

#### Constructing a Basis from a Single Vector

将 $\vec{u}$ 构造中的 $\vec{t}$ 替换成第二个向量 $\vec{b}$ 即可。

## Curves and Surfaces

### 2D Implicit Curves

一种常见的描述二维曲线的方法是隐等式（*Implicit Equation*）。二维曲线的一般形式是：

$$
f(x,y) = 0
$$

$$
(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) - r^2 = 0
$$

由点积的性质可知，该式也等价于：

$$
\vert \vert \vec{p} - \vec{c} || -r^2 = 0
$$

### 2D Gradient

这一节我们讨论2D梯度

假如我们认为 $f(x,y)$ 是一块高地且高度$=f(x,y)$，那么梯度向量指向的是最大向上斜率的方向。梯度向量 $\nabla f(x,y)$ 由下式给出：

$$
\nabla f(x,y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})
$$

### 3D Implicit Surfaces

类似于 2D 的情形，我们可以简单给出 3D Implicit Equation 来描述一个 3D 平面

$$
f(x,y,z) = 0
$$

同理，可以用向量来表示。有  $\vec{p} =(x,y,z)$ ，上式可以重写为：

$$
f(\vec{p}) = 0
$$

### Surface Normal to an Implicit Surface

Surface Normal，即法线。其目的是为了减小计算量，是一个垂直于平面的向量。

任意一个在平面上的点都有可能有不同的法向量。类似地，梯度为2D隐曲线指出了一条法线，在点 $\vec{p}$ 处的3D平面发现由隐函数的梯度给出：

$$
\vec{n} = \nabla f(\vec{p}) = (\frac{\partial f(\vec{p}}{\partial x}, \frac{\partial f(\vec{p})}{\partial y}, \frac{\partial f(\vec{p})}{\partial z})
$$

### Implicit Planes

上面提到了法线。我们是否可以用法线来定义一个平面？

假如我们有一个无限平面，穿过点 $\vec{a}$，且在该点有法线 $\vec{n}$。则该平面的 Implicit Equation 可以表达为：

$$
(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0
$$

有时候我们需要找到一个包含点 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的平面。该平面的法线可以用该平面内的任意两个向量的叉积给出：

$$
\vec{n} = (\vec{b} - \vec{a})\times (\vec{c} - \vec{a})
$$

利用上式，可以重写本节的第一个式子：

$$
(\vec{p} - \vec{a}) \cdot ((\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})) = 0
$$

该式可以这么理解：由 $\vec{p} - \vec{a}$ , $\vec{b} - \vec{a}$ 和 $\vec{c} - \vec{a}$ 定义的平行管的体积为 $0$，即他们是共面的。

一个 Full-Brown 的笛卡尔表示由行列式给出：

$$
\begin{Vmatrix} x - x_a & y - y_a & z - z_a \\ x_b - x_a & y_b - y_a & z_b - z_a \\ x_c-x_a & y_c - y_a & z_c-z_a\end{Vmatrix} = 0
$$

本质上，上两式是等价的。且两者都容易用来进行编程。

#### 3D Quadric Surfaces

类似于二次多项式可以用来定义2D中的二次曲线，由 $x,y,z$ 组成的二次多项式可以用来在 3D 中定义二次平面。例如，一个球可以表示成：

$$
f(\vec{p}) = (\vec{p} - \vec{c})^2 - r^2= 0
$$

一个在固定在轴上的椭球可以如下表示：

$$
f(\vec{p}) = \frac{(x-x_c)^2}{a^2} + \frac{(y-y_c)^2}{b^2} + \frac{(z-z_c)^2}{c^2} - 1 = 0
$$

#### 3D Curves from Implicit Surfaces

一条 3D 曲线可以由两个 Implicit equations 的节点同时构造出来：

$$
f(\vec{p}) = 0, g(\vec{p}) = 0
$$

例如，一条 3D Curves 可以由它截的两个平面来表示。

一种更简便的方法是用参数式来表示。

### 2D Parametric Curves

一个用参数来描述的曲线，使用单参数来控制的。这个参数可以被视为一种在曲线上连续的*索引*。这样的曲线可以由这种形式来表示：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g(t) \\ h(t) \end{bmatrix}
$$

这是一种很好的特性，因为我们可以用参数 $t$ 来显式地构造在曲线上的点。

通常，我们可以用向量的形式来写一个参数式的曲线：

$$
\vec{p} = f(t)
$$

其中，$f$ 是一个 vector-valued 的函数， $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$。

#### 2D Parameter Lines

一条经过 $\vec{p_0} =(x_0, y_0)$ 和 $\vec{p_1} = (x_1, y_1)$ 的点可以写做：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 + t(x_1-x_0) \\ y_0 + t(y_1-y_0)\end{bmatrix}
$$

上式中， $x, y$ 给出的形式非常类似，我们可以用一个更简单的向量形式来表达。对于 $\vec{p} = (x,y)$:

$$
\vec{p}(t) = \vec{p_0} + t(\vec{p_1 - \vec{p_0}})
$$

另外一种只用一个点 $\vec{o}$ 和一个向量 $\vec{d}$ 的表达方式是：

$$
\vec{p}(t) = \vec{o} + t(\vec{d})
$$

#### 2D Parametric Curves

圆心在 $(x_c, y_c)$ 半径为 $r$ 的圆有参数式：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_c+r\cos \phi \\ y_c + r \sin \phi \end{bmatrix}
$$

为了保证参数 $\phi$ 是一个独特的参数，对于每一个在曲线上的点，我们可以限制其定义域 $\phi \in [0,2\pi)$ 或者 $\phi \in (-\pi, \pi]$。

一个轴在坐标轴上的椭圆可以用不同的尺寸的 $x,y$ 来构造参数等式来表达：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_c+a \cos \phi \\ y_c + b\sin\phi \end{bmatrix}
$$

### 3D Parametric Curves

类似于 2D 的情况，3D Parametric Curves 可以表示为：

$$
x = f(t), y = g(t), z=h(t)
$$

例如，一个围着 $z$ 轴的螺旋状曲线可以写作：

$$
x = \cos t, y = \sin t, z = t
$$

同理，如果我们要控制曲线的起点和终点，函数 $f,g,h$ 定义在 $D \subset \mathbb{R}$ 。其向量形式可以写作：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \vec{p(t)}
$$

#### 3D Parametric Lines

不多细说，跟 2D 情况类似。

### 3D Parametric Surfaces

参数化方法可以用来定义 3D 空间中的平面，类似于我们如何定义曲线。在 3D 中平面的形式是：

$$
x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v)
$$

或者，向量形式是：

$$
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \vec{p}(u,v)
$$

$$
x = r \cos \phi \sin \theta, y = r \sin \phi \sin \theta, z = r\cos \theta
$$

我们也可以写成向量形式，但是这并不为这样特定的参数形式具备可行性。

$$
\theta = \arccos(z / \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}), \phi = \arctan2(y,x)
$$

结合 Implicit surfaces，函数 $f$ 的微分给出了该平面的法向量，同时 $\vec{p}$ 的微分也告诉了我们该平面的几何信息。

$$
\vec{n} = \vec{p_u} \times \vec{p_v}
$$

该法向量指向平面外方向。

### Summary for Curves and Surfaces

$$
S = \{ \vec{p} | f(\vec{p}) = 0 \}
$$

$$
S = \{ \vec{p}(t) | t \in D \}
$$

3D 中的参数化平面也是用 vector-valued 的二元函数来表示的：$\vec{p}: D \subset \mathbb{R^2} \to \mathbb{R^3}$，该平面包括所有点 $(u,v)$ 在定义域内：

$$
S = \{\vec{p}(t)| (u,v) \in D \}
$$

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