赌徒输光问题

赌徒输光问题

tony102

2022 年 01 月 19 日

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1475字数

胡思乱想总结

## 不想做一只两个月不更博的鸽子

~~点名 yyb~~

我不想做一只两个月不更博的鸽子，所以决定更新一下。

最近在家长组织~~自愿~~自习的地方下面有一家小超市，有一个弹珠机 ![弹珠机](https://tony102.com/usr/uploads/2022/01/2696132964.png)

然后一下课我们班就围着一台破破旧旧的弹珠机打弹珠，还会爆出巨大的欢呼声，还是挺好玩的

![](https://tony102.com/usr/uploads/2022/01/985737164.jpg)

## 赌徒输光问题

一个经典的马尔科夫链问题，我记得是 Itst 在 2021 年省选的时候介绍的。在马尔科夫链过程中，过去的状态对于预测未来是无关的。

赌徒输光问题就是一个有两个吸收壁的随机游走问题。

### 引入

楼神和托菜现在要进行德州扑克，楼神获胜概率为 $p$ ，托菜获胜概率为 $q$，满足 $p+q = 1$ ，假设每一次输家都给胜家 $1$ 元，起始时楼神有 $a$ 元 托菜有 $b$ 元，$a+b=c$ 。他们一直玩到一方输光为止，求楼神输光的概率。

### 推导

状态空间：$E = 0,1,\dots,c $

转移矩阵：

$$
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &0 &\dots & 0 & 0 &0 \\ q & 0 & p & 0 & \dots & 0 & 0 & 0  \\  & q & 0 &p &\dots & 0 & 0 &0 \\ \ \\ 0 & 0 & 0 &0 &\dots & q & 0 &p \\ 0 & 0 & 0 &0 &\dots & 0 & 0 &1 \\\end{bmatrix}
$$

$(n+1)\times(n+1)$

设 $f(i)$ 表示楼神手上剩了 $i$ 元的概率。根据条件概率公式：$f(i) = pf(i-1)+ qf(i-1), \forall 1 \leq i \leq c - 1$

化简并差分得到：$f(i+1)- f(i)= [f(1)-f(0)](\frac{q}{p})^{i-1}, \forall 1\leq i \leq c$

推出：$f(i) = f(1) \sum\limits_{k=1}^{i} (\frac{q}{p})^{k-1}$

即：若 $p=q$ 则：$f(i)=\frac{i}{c}, p = q = \frac{1}{2}$

若 $p \neq q$ 则：$\frac{1-(\frac{q}{p})^{i}}{1-(\frac{q}{p})^{c}}$

## 例题

懒得找了，是一道 topcoder 的题，陶然的 blog 里面有，哪天有空再丢链接吧。

## 结论

网上蒯的，毕竟做题不需要这些结论。

1. 赌金相同，获胜概率相同，则输光的概率相同
2. 赌金不同，获胜概率相同，则赌金大的人赢的概率大
3. 对手赌金无限（赌场），赌徒必输光。

## 尾声

很不幸，我正写这文章的时候有家长就在群里发不允许大家玩这玩意儿。

说实话我觉得很无聊，本来下课就没有什么地方活动，大家有一个机会聚在一起玩的很开心，笑得很开心，多好的一个机会。打牌也不准，连打弹珠也不准，你还不如直接取消课间。

无聊至极，但是真理至真。

最后修改：2022 年 01 月 19 日

如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏

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tony102 • 2022 年 01 月 19 日

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