浅谈求每个子树重心的方法

博主： tony102
发布时间：2021 年 09 月 24 日
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362字数
分类：总结

## 问题引入

给定一棵 $n$  个点的树，求以每个点为根的子树的重心。

数据范围：$n \leq 2 \times 10^5$

## 朴素方法

$O(n^2)$ 对每个点求出重心，时间无法承受。

## 方法一

考虑到重心的性质：一个子树的重心一定在其根节点所在重链上。发现重心的定义等价于重心的最大子树不超过整棵子树的一半，因此直接在重链上向下倍增即可。

时间复杂度：$O(n \log n)$

代码：

```cpp
int get(int x, int rt) {
    return std::max(siz[rt] - siz[x], siz[son[x]]);
}

void dfs1(int u) {
    if (siz[son[u]] <= siz[u] / 2) tag[ctr[u] = u] = 1;
    for (int i = head[u], v; i; i = edge[i].nxt) {
        v = edge[i].to;
        if (v == fa[u]) continue;
        dfs1(v); int c = ctr[v];
        if (ctr[u] || siz[v] <= siz[u] / 2) continue;
        while (fa[c] && get(c, u) > siz[u] / 2) c = fa[c];
        while (fa[c] && get(fa[c], u) <= siz[u] / 2) c = fa[c];
        tag[ctr[u] = c] = 1;
    }
}
```

## 方法二

还想再优秀一点？试图求得 $O(n)$ 的做法。

有一个假的结论，可以让你爆零：重心只有可能是儿子的重心、儿子重心的父亲和它自己。在这些点组成的可能集合中找子树大小最大的。

还有一个假的结论：重链上连续的一段节点的重心也是该重链上连续的一段节点。

这两个结论为什么假掉了，我们可以构造一棵树，使得存在点不是任何子树的重心。如图：

![](https://z3.ax1x.com/2021/09/24/4DP9bQ.png)

例如在一个应用中，每次修改的点都是重心。

其中标黄的边为重边,未标黄的为轻边。如果我们更新重链上连续的一段：1,2,4。那么对应的需要修改的重心为 1,4。并不是连续的一段。

所以上述结论是假的。

稍微将这个结论换一下就真了：即对于任意节点 $u$ ,以它为重心的节点一定和 $u$ 在同一条重链上并且为连续的一段。

有了这个结论，结合重链的性质：$\sum$ 重链长度 是 $O(n)$ 级别的，我们可以找到 $O(n)$ 做法。

以 20210923 CDQZ NOIp模拟赛中秋特别版 T2为例，代码如下：（by CJ_wyz)

```cpp
#include<cstdio>
#include<cctype>

#include<set>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<random>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

#define mp std::make_pair
#define swap std::swap

#define lowbit(k) (k&(-k))
 
#define mod 31607
 
template<class T>
 
inline T read(){
    T r=0,f=0;
    char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))f|=(c=='-');
    while(isdigit(c))r=(r<<1)+(r<<3)+(c^48),c=getchar();
    return f?-r:r;
}
 
template<class T>
 
inline T min(T a,T b){
	return a<b?a:b;
}
 
template<class T>
 
inline T max(T a,T b){
	return a>b?a:b;
}
 
#define ll long long
 
inline ll gcd(ll a,ll b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

inline ll lcm(ll a,ll b){
	return a/gcd(a,b)*b;
}
 
inline ll qpow(ll a,int b){
	ll ans=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1)(ans*=a)%=mod;
		(a*=a)%=mod;
	}
	return ans;
}
 
#undef ll
 
struct Z{
 
#define add(x) (x>=mod?x-mod:x)
#define sub(x) (x<0?x+mod:x)
 
	int x;
	inline int val() const{
		return x;
	}
	inline int inv() const{
		return qpow(x,mod-2);
	}
 
	Z(int x=0):x(x) {}
	Z operator -() const{
		return Z(add(mod-x));
	}
	Z &operator +=(const Z &z){
		x=add(x+z.x);
		return *this;
	}
	Z &operator -=(const Z &z){
		x=sub(x-z.x);
		return *this;
	}
	Z &operator *=(const Z &z){
		x=1ll*x*z.x%mod;
		return *this;
	}
	Z &operator /=(const Z &z){
		x=1ll*x*z.inv()%mod;
		return *this;
	}
	Z operator +(const Z &z) const{
		return Z(add(x+z.x));
	}
	Z operator -(const Z &z) const{
		return Z(sub(x-z.x));
	}
	Z operator *(const Z &z) const{
		return Z(1ll*x*z.x%mod);
	}
	Z operator /(const Z &z) const{
		return Z(1ll*x*z.inv()%mod);
	}
 
#undef add
#undef sub

};

#define maxn 202202

struct E{
    int v,nxt;
    E() {}
    E(int v,int nxt):v(v),nxt(nxt) {}
}e[maxn<<1];

int n,s_e,head[maxn],ct[maxn];

inline void a_e(int u,int v){
    e[++s_e]=E(v,head[u]);
    head[u]=s_e;
}

int L[maxn],R[maxn];

std::vector<int> d[maxn];

namespace T_C{

int s_dfn,fa[maxn],dfn[maxn],dep[maxn],size[maxn];

int N,low[maxn],down[maxn],top[maxn],son[maxn];

void dfs1(int u){
		size[u]=1;
		dep[u]=dep[fa[u]]+1;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].v;
			if(size[v])continue;
			fa[v]=u,dfs1(v);
			size[u]+=size[v];
			if(size[son[u]]<size[v])son[u]=v;
		}
    }
	
    void dfs2(int u,int t){
		top[u]=t;
		dfn[u]=++s_dfn;
		d[t].push_back(u);
		if(!son[u]){
			R[u]=s_dfn;
			return;
		}
		dfs2(son[u],t);
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].v;
			if(top[v])continue;
			dfs2(v,v);
		}
    }

namespace BIT{

long long c[2][maxn];

inline void add(int k,int x){
			for(int p=k;k<=N;k+=lowbit(k))
				c[0][k]+=x,c[1][k]+=1ll*p*x;
		}

inline long long ask(int k){
			long long sum=0;
			for(int x=k;k;k^=lowbit(k))
				sum+=(x+1)*c[0][k]-c[1][k];
			return sum;
		}

inline void add(int l,int r,int v){
			add(l,v),add(r+1,-v);
		}

inline long long ask(int l,int r){
			return ask(r)-ask(l-1);
		}

}

inline void change(int u,int v,int val){
		int fu=top[u],fv=top[v];
		while(fu^fv){
			if(dep[fu]<dep[fv])
				swap(u,v),swap(fu,fv);
			BIT::add(low[ct[fu]],low[ct[u]],val);
			u=fa[fu],fu=top[u];
		}
		if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
		BIT::add(low[ct[u]],low[ct[v]],val);
	}

inline long long ask1(int u,int v){
		long long sum=0;
		int fu=top[u],fv=top[v];
		while(fu^fv){
			if(dep[fu]<dep[fv])
				swap(u,v),swap(fu,fv);
			if(down[fu]<=low[u])
				sum+=BIT::ask(down[fu],low[u]);
			u=fa[fu],fu=top[u];
		}
		if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
		if(down[u]<=low[v])
			sum+=BIT::ask(down[u],low[v]);
		return sum;
    }

inline long long ask2(int u){
		return L[u]?BIT::ask(L[u],R[u]):0;
    }

bool in[maxn];

void dfs3(int u){
	    if(in[u])low[u]=++N;
		if(!son[u]){
			L[u]=R[u]=low[u]?low[u]:0;
			return;
		}
		dfs3(son[u]);
		L[u]=low[u]?low[u]:L[son[u]];
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].v;
			if((v^fa[u])&&(v^son[u]))
				dfs3(v);
		}
		R[u]=N;
	}

inline void init(){
		dfs1(1);
		dfs2(1,1);
		for(int t=1;t<=n;t++){
			if(!d[t].size())continue;
			ct[d[t].back()]=d[t].back();
			in[d[t].back()]=1;
			for(int i=d[t].size()-2;~i;i--){
				int u=d[t][i];
				ct[u]=ct[d[t][i+1]];
				while(size[ct[u]]<=size[u]/2)
					ct[u]=fa[ct[u]];
				in[ct[u]]=1;
			}
		}
		dfs3(1);
		for(int t=1;t<=n;t++){
			if(!d[t].size())continue;
			down[d[t].back()]=low[d[t].back()];
			for(int i=d[t].size()-2;~i;i--){
				int u=d[t][i];
				down[u]=low[u]?low[u]:down[d[t][i+1]];
			}
			for(int i=1;i<(int)d[t].size();i++){
				int u=d[t][i];
				low[u]=low[u]?low[u]:low[d[t][i-1]];
			}
		}
    }

}

inline void work(){
    int opt=read<int>();
    int u=read<int>();
    if(opt==2){
		printf("%lld\n",T_C::ask2(u));
		return;
    }
    int v=read<int>();
    if(opt==1)T_C::change(u,v,read<int>());
    else printf("%lld\n",T_C::ask1(u,v));
}

int main(){
    n=read<int>();
    for(int i=1;i<n;i++){
		int u=read<int>();
		int v=read<int>();
		a_e(u,v),a_e(v,u);
    }
    T_C::init();
    int t=read<int>();
    while(t--)work();
    return 0;
}
```

最后修改：2021 年 09 月 24 日

如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏

3 条评论

abcyz
September 28th, 2021 at 08:27 pm

不是说托老师的一定切了吗

回复
wyzywz
September 28th, 2021 at 10:18 am

不是说我的一定假了吗

回复
1. tony102
  September 28th, 2021 at 10:22 am
  
  @wyzywz
  
  那肯定不是我说的
  
  回复

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tony102 • 2021 年 09 月 24 日

## 问题引入

给定一棵 $n$  个点的树，求以每个点为根的子树的重心。

数据范围：$n \leq 2 \times 10^5$

## 朴素方法

$O(n^2)$ 对每个点求出重心，时间无法承受。

## 方法一

时间复杂度：$O(n \log n)$

代码：

```cpp
int get(int x, int rt) {
    return std::max(siz[rt] - siz[x], siz[son[x]]);
}

## 方法二

还想再优秀一点？试图求得 $O(n)$ 的做法。

有一个假的结论，可以让你爆零：重心只有可能是儿子的重心、儿子重心的父亲和它自己。在这些点组成的可能集合中找子树大小最大的。

还有一个假的结论：重链上连续的一段节点的重心也是该重链上连续的一段节点。

这两个结论为什么假掉了，我们可以构造一棵树，使得存在点不是任何子树的重心。如图：

![](https://z3.ax1x.com/2021/09/24/4DP9bQ.png)

例如在一个应用中，每次修改的点都是重心。

其中标黄的边为重边,未标黄的为轻边。如果我们更新重链上连续的一段：1,2,4。那么对应的需要修改的重心为 1,4。并不是连续的一段。

所以上述结论是假的。

稍微将这个结论换一下就真了：即对于任意节点 $u$ ,以它为重心的节点一定和 $u$ 在同一条重链上并且为连续的一段。

有了这个结论，结合重链的性质：$\sum$ 重链长度 是 $O(n)$ 级别的，我们可以找到 $O(n)$ 做法。

以 20210923 CDQZ NOIp模拟赛中秋特别版 T2为例，代码如下：（by CJ_wyz)

```cpp
#include<cstdio>
#include<cctype>

#include<set>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<random>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

#define mp std::make_pair
#define swap std::swap

};

#define maxn 202202

struct E{
    int v,nxt;
    E() {}
    E(int v,int nxt):v(v),nxt(nxt) {}
}e[maxn<<1];

int n,s_e,head[maxn],ct[maxn];

inline void a_e(int u,int v){
    e[++s_e]=E(v,head[u]);
    head[u]=s_e;
}

int L[maxn],R[maxn];

std::vector<int> d[maxn];

namespace T_C{

int s_dfn,fa[maxn],dfn[maxn],dep[maxn],size[maxn];

int N,low[maxn],down[maxn],top[maxn],son[maxn];

namespace BIT{

long long c[2][maxn];

inline void add(int k,int x){
			for(int p=k;k<=N;k+=lowbit(k))
				c[0][k]+=x,c[1][k]+=1ll*p*x;
		}

inline long long ask(int k){
			long long sum=0;
			for(int x=k;k;k^=lowbit(k))
				sum+=(x+1)*c[0][k]-c[1][k];
			return sum;
		}

inline void add(int l,int r,int v){
			add(l,v),add(r+1,-v);
		}

inline long long ask(int l,int r){
			return ask(r)-ask(l-1);
		}

}

inline long long ask2(int u){
		return L[u]?BIT::ask(L[u],R[u]):0;
    }

bool in[maxn];

}

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