基本微积分定理

博主： tony102
发布时间：2021 年 09 月 17 日
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2187字数
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## 积分中值定理

### 定义

如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么在开区间 $(a,b)$ 内总有一点 $c$ 满足：

$$
f(c) = \frac{1}{b-a} \int^{b}_{a} f(d) \mathrm{d} x
$$

### 理解

感性理解...

比如微分中值定理的可以简单理解为：你在一段路上驾驶，一下子时速 $60$ ，一下子时速 $120$ ，那么一定有一个平均时速可以求出。

同理可以用来理解一段位移（毕竟积分是可以是有向面积），那么一下子正位移，一下子负位移，想象有两个四两拨千斤的马老师在拉扯，那么一定有一个点可以把整段位移平均划分成相等的两部分。

## 定积分和不定积分

其实是一样的，只是一个有积分上下限，另一个无限积出的来的结果会是一个代数表达式。

但是知道积分可加可减、常数可提，所以求出来的不定积分，可以用来算定积分。

感觉不定积分要比定积分性质更强。但是有的情况下想求出无限积分应该是一件非常难的事情吧。

## 微积分第一基本定理

### 推导

假如我们要求：

$$
\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t
$$

我们用一个函数 $F(x)$ 来表示：$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 。即：固定积分下限，把自变量 $x$ 当做一个积分上限。

对 $F(x)$ 求导：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t$

发现没有可用的求导公式？那就只有定义是可以用了：

$$
\lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}
$$

数形结合，知道 $F$ 就是两个有向面积中间的公共部分

所有：

$$
F(x+h) - F(x) = \int_{a}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t - \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t
$$

因为积分可加可减，常数可提在积分符号外，所以：$\int_{a}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t =  \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t + \int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t$

所以相减抵消了一项之后，现在只剩下了 $\int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t$

注意到：$h \to 0$ 的条件，这时候横坐标 $\to 0$ ，那么这个面积底非常小，几乎可以认为是一条直线，所以：

$$
\int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t \approx hf(t)
$$

带回原式得到：

$$
\lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x)
$$

可以发现 $F'(x) = f(x)$

这就是微积分第一基本定理的推导。

### 总结定义

微积分第一基本定理：如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，定义 $F$ 为：

$$
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t, x \in [a,b]
$$

则 $F$ 在开区间 $(a,b)$ 上是连续可导函数，并且 $F'(x) = f(x)$

## 反导数的引入

假如 $a \neq A$，不妨设 $A > a$，并且有：$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t, G(x) = \int_{A}^{x} f(t) \mathrm{d} t$

那么很明显，$\Delta = F(x) - G(x) = C$

假如 $f(t) = t^{2}$ ，我们要求 $F$，也就是说我们要找到一个函数使它的导数为 $t^2$。这样的函数有很多，$\frac{x^3}{3}, \frac{x^3}{3} - 2 \pi$

可以注意到给出的第二个例子中 $-2 \pi $ 这一常数项导数为 $0$，这样的常数无论它的大小正负求导以后都会变成 $0$，而重要的只有前面 $\frac{x^3}{3}$ 这一项。

所以我们可以写出（令 $a=0$）：

$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d}t = \frac{x^3}{3} + C
$$

## 微积分第二基本定理

我觉得直接丢定义就可以了

### 定义

微积分第二基本定理：如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，$F$ 是 $f$ 的任意一个关于 $x$  的反导数，那么有：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x= F(b) - F(a)
$$

可以简单写成：

$$
F(x) |^{b}_{a}
$$

最后修改：2021 年 09 月 17 日

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竟然……又找到一个校友……而且初中和高中都是同一个学校……天哪...
暴力膜托
快给黄明珍开个方子吧，可怜孩子补太猛了

基本微积分定理

tony102 • 2021 年 09 月 17 日

## 积分中值定理

### 定义

如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么在开区间 $(a,b)$ 内总有一点 $c$ 满足：

$$
f(c) = \frac{1}{b-a} \int^{b}_{a} f(d) \mathrm{d} x
$$

### 理解

感性理解...

比如微分中值定理的可以简单理解为：你在一段路上驾驶，一下子时速 $60$ ，一下子时速 $120$ ，那么一定有一个平均时速可以求出。

## 定积分和不定积分

其实是一样的，只是一个有积分上下限，另一个无限积出的来的结果会是一个代数表达式。

但是知道积分可加可减、常数可提，所以求出来的不定积分，可以用来算定积分。

感觉不定积分要比定积分性质更强。但是有的情况下想求出无限积分应该是一件非常难的事情吧。

## 微积分第一基本定理

### 推导

假如我们要求：

$$
\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t
$$

我们用一个函数 $F(x)$ 来表示：$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 。即：固定积分下限，把自变量 $x$ 当做一个积分上限。

对 $F(x)$ 求导：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t$

发现没有可用的求导公式？那就只有定义是可以用了：

$$
\lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}
$$

数形结合，知道 $F$ 就是两个有向面积中间的公共部分

所有：

$$
F(x+h) - F(x) = \int_{a}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t - \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t
$$

因为积分可加可减，常数可提在积分符号外，所以：$\int_{a}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t =  \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t + \int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t$

所以相减抵消了一项之后，现在只剩下了 $\int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t$

注意到：$h \to 0$ 的条件，这时候横坐标 $\to 0$ ，那么这个面积底非常小，几乎可以认为是一条直线，所以：

$$
\int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{d}t \approx hf(t)
$$

带回原式得到：

$$
\lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x)
$$

可以发现 $F'(x) = f(x)$

这就是微积分第一基本定理的推导。

### 总结定义

微积分第一基本定理：如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，定义 $F$ 为：

$$
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t, x \in [a,b]
$$

则 $F$ 在开区间 $(a,b)$ 上是连续可导函数，并且 $F'(x) = f(x)$

## 反导数的引入

假如 $a \neq A$，不妨设 $A > a$，并且有：$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d}t, G(x) = \int_{A}^{x} f(t) \mathrm{d} t$

那么很明显，$\Delta = F(x) - G(x) = C$

假如 $f(t) = t^{2}$ ，我们要求 $F$，也就是说我们要找到一个函数使它的导数为 $t^2$。这样的函数有很多，$\frac{x^3}{3}, \frac{x^3}{3} - 2 \pi$

所以我们可以写出（令 $a=0$）：

$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d}t = \frac{x^3}{3} + C
$$

## 微积分第二基本定理

我觉得直接丢定义就可以了

### 定义

微积分第二基本定理：如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，$F$ 是 $f$ 的任意一个关于 $x$  的反导数，那么有：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x= F(b) - F(a)
$$

可以简单写成：

$$
F(x) |^{b}_{a}
$$

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