UVA10140 Prime Distance

tony102

2019 年 05 月 06 日

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题解

题目链接：[UVA10140]([https://www.luogu.org/problemnew/show/UVA10140](https://www.luogu.org/problemnew/show/UVA10140))

## Description

给定两个整数 $L,R$，求闭区间 $[L,R]$ 中相邻两个质数差值最小的数对与差值最大的数对。当存在多个时，输出靠前的素数对。 输入多组数据。每行两个数 $L,R$。对于全部数据，$1≤L<R<2^31,R−L≤10^6$。

(Luogu默认的翻译有点小问题，这个是kuǎi的Luogu讨论区的)

## Sol

暴力做法显然易见，直接把 $[1, R]$ 区间里面所有质数筛出来，两两比较，肯定会T掉，时间复杂度如下（线性筛）

$O(\sum_{p ≤ \sqrt{R}} \frac{R-L}{p} + n) = O(\sqrt{R}\ log^2\ \sqrt{R}+(R-L)\ log^2\ R+n)$

但是参考一下 $L,R$ 的范围光筛一遍就T掉了

同时你发现，$R-L$ 范围很小，都帮我们写好了，这肯定是提示我们快速求出 $[L,R]$ 之间的素数。

然后根据算数基本定理，知道一个合数 $n$ 必定包括一个不超过 $\sqrt{n}$ 的质因子。

所以最后我们就只要筛出 $[1,\sqrt{R}]$ 中的质数，对于每一个质数 $p$ ，在 $[L,R]$ 中标记它的倍数，这个数就一定是一个合数（见上），剩下的就是素数

所以时间复杂度为 $O(\sqrt{R}\ log^2\ \sqrt{R}+(R-L)\ log^2\ R)$

## Code

不知道为什么UVA上会RE，算了算了，反正是对的

```c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int SIZE = 1000000 + 5;
const int inf = 0x7f7f7f7f;

int l, r;
LL prime[SIZE];
int tot, vis_p[SIZE], vis[SIZE];

inline int read()
{
    char ch = getchar();
    int f = 1, x = 0;
    while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; ch = getchar(); }
    return x * f;
}

inline void Eratosthenes()
{
    for (int i = 2; i * i <= r; i++)
    {
        if (vis_p[i]) continue;
        prime[++tot] = i;
        for (int j = i; j <= r / i; j++) vis_p[i * j] = 1;
    }
}

inline void Flag()
{
    memset(vis, 1, sizeof(vis));
    if (l == 1) vis[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= tot; i++)
    {
        for (int j = l / prime[i]; j * prime[i] <= r; j++)
        {
            LL temp = prime[i] * j;
            if (j > 1 && temp >= l) vis[temp - l] = 0;
        }
    }
}

inline void Calc()
{
    int Max = 0, Min = inf, last = 0;
    int p1, p2, p3, p4;
    for (int i = l; i <= r; i++)
    {
        if (!vis[i - l]) continue;
        if (last) 
        {
            int dis = abs(i - last);
            if (dis < Min) Min = dis, p1 = last, p2 = i;
            if (dis > Max) Max = dis, p3 = last, p4 = i;
        }
        last = i;
    }
    if (!Max) printf("There are no adjacent primes.\n");
    else printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", p1, p2, p3, p4);
}

int main()
{
    while (~scanf("%d %d", &l, &r))
    {
        Eratosthenes();
        Flag();
        Calc();
        memset(vis_p, 0, sizeof(vis_p));
        memset(prime, 0, sizeof(prime));
        tot = 0;
    }
    return 0;
}
```

最后修改：2021 年 09 月 07 日